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Das implizite `!Trapez-Verfahren`! ist ein Verfahren zur `F33f`_`[numerischen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Numerische_Mathematik]`_`f Lösung eines `F33f`_`[Anfangswertproblems`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Anfangswertproblem]`_`f

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\\displaystyle y'(t)=f\\left(t,y(t)\\right),\\quad y(t_{0})=y_{0}}

Es lässt sich sowohl den `F33f`_`[Runge-Kutta-Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Runge-Kutta-Verfahren]`_`f als auch den `F33f`_`[Adams-Moulton-Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mehrschrittverfahren]`_`f zuordnen. Das Trapezverfahren ist `F33f`_`[A-stabil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=A-Stabilität]`_`f mit der Besonderheit, dass für die Schwingungsgleichung y ′ = i α α y {\\displaystyle y'=\\mathrm {i} \\alpha y} kein Amplitudenfehler auftritt`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]. Das Verfahren lässt sich aus der `F33f`_`[Trapezregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Trapezregel]`_`f herleiten:

y n + 1 = y n + h 2 ( f n + 1 + f n ) {\\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\\frac {h}{2}}(f_{n+1}+f_{n})}

mit

f n := f ( t n , y n ) . {\\displaystyle f_{n}\\ :=f(t_{n},y_{n}).}

>>Contents

• `F0af`_`[Herleitung`#herleitung]`_`f

• `F0af`_`[Lösungsmethode`#l-sungsmethode]`_`f

• `F0af`_`[Stabilität`#stabilit-t]`_`f

• `F0af`_`[Schrittweite h`#schrittweite-h]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Herleitung

Für die Herleitung von `F33f`_`[Einschrittverfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einschrittverfahren]`_`f wird das `F33f`_`[Anfangswertproblem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Anfangswertproblem]`_`f meist in der zu ihr äquivalenten `F33f`_`[Integralgleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralgleichung]`_`f umgeformt`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

y ˙ ˙ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 ⟺ ⟺ y ( t ) = y 0 + ∫ ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s . {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\dot {y}}&=f(t,y)\\,,\\qquad y(t_{0})=y_{0}\\\\\\Longleftrightarrow \\quad y(t)&=y_{0}+\\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\\,\\mathrm {d} s\\,.\\end{aligned}}}

Nun besteht die Idee bei der `*impliziten Trapez-Methode`* eine simple `F33f`_`[Quadraturformel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Numerische_Integration]`_`f für das Integral zu benutzen: die `F33f`_`[Trapezregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Trapezregel]`_`f. Man approximiert in jedem k {\\displaystyle k} -ten Schritt den Integranden wie folgt

∫ ∫ t k t k + 1 f ( s , y ( s ) ) d s ≈ ≈ h 2 ( f ( t k , y k ) + f ( t k + 1 , y k + 1 ) ) . {\\displaystyle \\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(s,y(s))\\,\\mathrm {d} s\\approx {\\frac {h}{2}}{\\Big (}f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}){\\Big )}\\,.}

Zusammen ergibt dies die `!Trapez-Methode`!`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

y ( t k + 1 ) = y ( t k ) + ∫ ∫ t k t k + 1 f ( s , y ( s ) ) d s ≈ ≈ y k + h 2 ( f ( t k , y k ) + f ( t k + 1 , y k + 1 ) ) =: y k + 1 . {\\displaystyle y(t_{k+1})=y(t_{k})+\\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(s,y(s))\\,\\mathrm {d} s\\approx y_{k}+{\\frac {h}{2}}{\\Big (}f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}){\\Big )}=:y_{k+1}\\,.}

>>Lösungsmethode

Zur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen, Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren genutzt werden. Für das quadratisch konvergente `F33f`_`[Newton-Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Newton-Verfahren]`_`f ergibt sich konkret:

y n + 1 ( k + 1 ) = y n + 1 ( k ) − − ( I − − h 2 ∂ ∂ f n + 1 ( k ) ∂ ∂ y n + 1 ( k ) ) − − 1 ( y n + 1 ( k ) − − y n − − h 2 ( f n + 1 ( k ) + f n ) ) . {\\displaystyle y_{n+1}^{(k+1)}=y_{n+1}^{(k)}-\\left(I-{\\frac {h}{2}}{\\frac {\\partial f_{n+1}^{(k)}}{\\partial y_{n+1}^{(k)}}}\\right)^{-1}\\left(y_{n+1}^{(k)}-y_{n}-{\\frac {h}{2}}(f_{n+1}^{(k)}+f_{n})\\right).}

Man erhält also ein `F33f`_`[lineares Gleichungssystem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineares_Gleichungssystem]`_`f

( I − − h 2 J ( k ) ) y n + 1 ( k + 1 ) = − − h 2 J ( k ) y n + 1 ( k ) + y n + h 2 ( f n + 1 ( k ) + f n ) , {\\displaystyle (I-{\\frac {h}{2}}J^{(k)})y_{n+1}^{(k+1)}=-{\\frac {h}{2}}J^{(k)}y_{n+1}^{(k)}+y_{n}+{\\frac {h}{2}}(f_{n+1}^{(k)}+f_{n}),}

wobei `*J`* die `F33f`_`[Jacobi-Matrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jacobi-Matrix]`_`f

J ( k ) := ( ∂ ∂ f ∂ ∂ y ) n + 1 ( k ) {\\displaystyle J^{(k)}:=\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial y}}\\right)_{n+1}^{(k)}} ,

I {\\displaystyle I} die `F33f`_`[Einheitsmatrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitsmatrix]`_`f und k {\\displaystyle k} der Iterationsschritt ist.

>>Stabilität

Mit der Testgleichung y ′ ( t ) = λ λ y ( t ) {\\displaystyle y'(t)=\\lambda y(t)} bekommt man die `F33f`_`[Stabilitätsfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stabilitätsfunktion]`_`f

R ( z ) = 2 + z 2 − − z , z = h λ λ ∈ ∈ C . {\\displaystyle R(z)={\\frac {2+z}{2-z}},\\quad z=h\\lambda \\in \\mathbb {C} .}

Auf der imaginären Achse z = i η η {\\displaystyle z=i\\eta } gilt | R ( i η η ) | = 1 {\\displaystyle |R(i\\eta )|=1} , daher ist die Trapezmethode `F33f`_`[A-stabil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=A-Stabilität]`_`f.

>>Schrittweite h

Die (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:

| R ( h λ λ ) e h λ λ − − 1 | = δ δ {\\displaystyle \\left\\vert {\\frac {R(h\\lambda )}{\\mathrm {e} ^{h\\lambda }}}-1\\right\\vert =\\delta } ;

δ δ {\\displaystyle \\delta } bezeichnet den zugelassenen `F33f`_`[lokalen Diskretisierungsfehler`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lokaler_Diskretisierungsfehler]`_`f. Der Ansatz y n + 1 = y n + h 2 ( f n + 1 + f n ) =: R ( h λ λ ) y n {\\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\\frac {h}{2}}(f_{n+1}+f_{n})=:R(h\\lambda )y_{n}} liefert für die implizite Trapez-Methode

R ( h λ λ ) = 2 + h λ λ 2 − − h λ λ {\\displaystyle R(h\\lambda )={\\frac {2+h\\lambda }{2-h\\lambda }}} .

Dabei ist λ λ := max j | λ λ j | {\\displaystyle \\lambda \\,:=\\max _{j}{|\\lambda _{j}|}} der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix (`F33f`_`[Spektralradius`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralradius]`_`f). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die `F33f`_`[Gesamtnorm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gesamtnorm]`_`f λ λ = N ⋅ ⋅ max i , j | a i j | {\\displaystyle \\lambda =N\\cdot \\max _{i,j}|a_{ij}|} heranzuziehen, die immer größer oder gleich der `F33f`_`[Spektralnorm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralnorm]`_`f ist. `*N`* ist der Rang der Jacobi-Matrix und a i j {\\displaystyle a_{ij}} deren Elemente.

>>Literatur

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: `*Numerische Mathematik.`* 5. Auflage, Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8, S. 343.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f M. Kloker: `*Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy`* (PDF; 2,2 MB), Universität Stuttgart, 1996

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 378.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 383.

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